lunes, 15 de septiembre de 2014

Solución al problema de las 3 puertas (o de Monty Hall)

En las distintas versiones de la solución es común que en una de las puertas se encuentre el coche y, para dar color al problema, en las otras dos se encuentren sendas cabras.

A primera vista parece obvio que da igual. La intuición nos dice que ahora, quitando una puerta sin premio, la puerta que nosotros escogimos tiene un 50% de tener una cabra y por tanto da igual cambiar que no hacerlo. Pero no habría propuesto el acertijo si fuera tan trivial, ¿verdad?
De hecho, la intuición nos juega una mala pasada y nos hace equivocarnos en esta ocasión. La respuesta es que debemos cambiar la puerta para conseguir que las probabilidades de ganar el coche sean 2 sobre 3 (2/3).

Lo explicaré de 3 formas distintas. Primero gráficamente, desarrollando todas las posibilidades. Esto lo habréis hecho alguna vez si estudiasteis probabilidad. Es la forma más fácil de entender pero a menudo también la más pesada.


Si miramos las posibilidades de éxito de cambiar o no cambiar, vemos que si no cambiamos tenemos 1/3 y si cambiamos tenemos 2/3.
Aún resulta difícil de entender, pero resulta indiscutible que es así.

Otra explicación. Si no cambiamos las posibilidades de acertar son de 1/3, ya que escogemos una vez sin tener información y luego no cambiamos, de modo que el hecho de que el presentador abra una puerta no cambia nuestras probabilidades, aunque parezca lo contrario. Sin embargo, si cambiamos la cosa va de este modo:

Escogemos puerta con cabra -> Presentador muestra la otra cabra -> cambiamos y GANAMOS
Escogemos puerta con coche -> Presentador muestra la otra cabra -> cambiamos y PERDEMOS
y dado que hay 2 cabras y 1 coche las posibilidades de ganar son de 2/3.

Matemáticamente, con probabilidades condicionadas. Esta es la forma más rigurosa, pero probablemente la que peor se entienda.

Nomenclatura:
Llamamos X, Y, Z a las puertas
Lz -> presentador abre la puerta z
Cx -> coche en la puerta x

Si escogemos la puerta X, las probabilidades son como sigue:
P(Lz^Cy) + P(Ly^Cz) = P(Cy).P(Lz | Cy) + P(Cz).P(Ly | Cz) = (1/3.1) + (1/3.1) = 2/3

Si habéis dado probabilidades condicionadas lo entenderéis en un par de leídas.
De cualquier forma, este problema suele generar polémica.